Circunferencia con
centro (C) en el origen de las coordenadas; expresado como C (0, 0)
Veamos la gráfica
siguiente:
Los datos que nos
entrega son:
Centro: C (0,
0) , el centro se ubica
en el origen de las coordenadas x e y
radio: r , lo desconocemos, pero tenemos un dato: el
punto P (3, 4) ubicado en la circunferencia.
Recordemos de nuevo :
Cuando el centro (C) de
la circunferencia sea (0, 0) se usará la ecuación x 2 +
y 2 = r 2 para expresar dicha
circunferencia en forma analítica. Esta ecuación se conoce como ecuación
reducida .
Para la gráfica de
nuestro ejemplo, deberíamos colocar el valor de r en la
fórmula x 2 + y 2 = r 2 , pero
resulta que no lo conocemos.
Entonces, a partir del
dato P (3, 4) podemos calcular el valor del trazo que une este
punto con el centro C (0, 0) (trazo PC con línea punteada en
la figura), el cual corresponde al radio de la circunferencia dada.
¿Cómo calculamos el
valor de la distancia (d) entre P y C (el radio de la circunferencia)?
Para calcular la distancia
(d) entre dos puntos (encontrar su valor) contamos con la siguiente
fórmula:
No olvidemos que esta
fórmula es para encontrar o conocer la distancia del punto; por lo mismo, debemos saber que en ella
(x 2 ─
x 1 ) 2 representa al punto 1, y ese punto 1 (P 1 ) lo
haremos corresponder con el punto que pasa por el centro C (0, 0)
(y 2 ─
y 1 ) 2 representa al punto 2, y ese punto 2 (P 2 ) lo
haremos corresponder con el punto que pasa por P (3, 4).
Es muy importante
conocer o designar este orden ya que
Establecido este orden
o equivalencia, podemos sustituir los valores en la fórmula anterior para
conocer la distancia (d) entre los dos puntos que nos interesan, la cual será
nuestro radio:
El 5 nos indica la
distancia entre los dos puntos, el centro de la circunferencia y uno de sus
puntos, lo cual corresponde al radio .
Recapitulemos:
Para expresar u
obtener la ecuación de una circunferencia cuyo centro está en el origen,
necesitamos conocer el centro, ya sabemos que es C (0, 0), y conocer el radio,
que ahora sabemos que es 5.
Esta: x 2 +
y 2 = r 2
Reemplazamos en ella
el valor del radio
x 2 +
y 2 = 5 2 y nos queda
x 2 +
y 2 = 25 como la ecuación reducida de la circunferencia graficada arriba (en la cual nos indicaron un
centro y un punto en ella).
CIRCUNFERENCIAS CON CENTRO
FUERA DEL ORIGEN
Hallar la ecuación
de la circunferencia que sea tangente a los 2 ejes de coordenadas de Radio = 8
y cuyo centro este en el primer cuadrante. Hacer la grafica.
Se entiende que la tangente a los 2 ejes (X o Y) queda en el Primer Cuadrante cuyo Radio = 8. Solo se agarra el eje X y se mide 8, el eje Y también midiendo 8, se juntan y forman el Pc (8 , 8). De allí se hace la circunferencia.
(X – h)2 +
(Y – K)2 = r2
Ecuación
Cartesiana.
(X – h)2 + (Y – K)2 = r2
(X – 8)2 + (Y – 8)2 = 82
(X – 8)2 + (Y – 8)2 = 64
(X – h)2 + (Y – K)2 = r2
(X – 8)2 + (Y – 8)2 = 82
(X – 8)2 + (Y – 8)2 = 64
Ecuación General.
(X – h)2 + (Y – K)2 = r2
(X – 8)2 + (Y – 8)2 = 64
Recordemos que para eliminar estos 2 binomios, se despeja.
X2 + 2(X)(-8) + (-8)2 + Y2 + 2(Y)(-8) + (-8)2 = 64
X2 – 16X + 64 + Y2 – 16Y + 64 = 64
X2 – 16X + 64 + Y2 – 16Y + 64 – 64 = 0
X2 + Y2 – 16X – 16Y + 64 = 0
(X – h)2 + (Y – K)2 = r2
(X – 8)2 + (Y – 8)2 = 64
Recordemos que para eliminar estos 2 binomios, se despeja.
X2 + 2(X)(-8) + (-8)2 + Y2 + 2(Y)(-8) + (-8)2 = 64
X2 – 16X + 64 + Y2 – 16Y + 64 = 64
X2 – 16X + 64 + Y2 – 16Y + 64 – 64 = 0
X2 + Y2 – 16X – 16Y + 64 = 0
